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%第七周习题

% 6.7. 子空间的直和
% 6.8. 线性空间的同构
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%摘要 Week G Teaching Goal 
\newcommand{\GABSA}{子空间的直和}
\newcommand{\GABSAa}{理解两个线性子空间的直和的概念。}
\newcommand{\GABSAb}{证明和子空间是直和的三个充分必要条件。}

\newcommand{\GABSB}{线性空间的同构}
\newcommand{\GABSBa}{理解线性空间之间的同构映射的概念。}
\newcommand{\GABSBb}{构造两个线性空间之间的同构。}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 1
\newcommand{\GTA}{
（定义9）设 $V_1,V_2$ 是线性空间 $V$ 的子空间。什么时候称和子空间 $V_1+V_2$ 是直和 $V_1\oplus V_2$ ? 
}

%\item % 1a.  
\newcommand{\GTAsol}{
{\color{red}解答：  当和子空间中的每个向量的分解式是唯一的时候。
}
}

%\item % 2
\newcommand{\GTB}{
（定理8）证明和子空间 $V_1+V_2$ 是直和的充分必要条件是：对 $\alpha_1\in V_1, \alpha_2\in V_2$, 若 $\alpha_1+\alpha_2=\theta$ 是零向量，则 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 只能都是零向量。 
}

%\item % 2a.  
\newcommand{\GTBsol}{
{\color{red}解答：  

(1)若是直和，则零向量的分解式是唯一的。\\ 
(2)若零向量的分解式是唯一的，则其它向量的分解式也是唯一的，因此是直和。

}
}


%\item % 3
\newcommand{\GTC}{
证明和子空间 $V_1+V_2$ 是直和的充分必要条件是 $V_1\cap V_2=\{\theta\}$, 即交集只有零向量。
}

%\item % 3a.  
\newcommand{\GTCsol}{
{\color{red}解答：  

(1)若是直和，则交集只有零向量。\\ 
(2)若交集只有零向量，则是直和。

}
}

%\item % 4
\newcommand{\GTD}{
（定理9）证明和子空间 $V_1+V_2$ 是直和的充分必要条件是 $\dim (V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2$. 
}

%\item % 4a.  
\newcommand{\GTDsol}{
{\color{red}解答：根据维数公式   
$$\dim (V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim (V_1\cap V_2),$$
以及 $\dim (V_1\cap V_2)=0\Leftrightarrow V_1\cap V_2=\{\theta\}$. 

}
}

%\item % 5
\newcommand{\GTE}{
（定理10）设 $U$ 是有限维线性空间 $V$ 的一个子空间，则存在另一个子空间 $W$ 使得 $V=U\oplus W$. 
}

%\item % 5a.  
\newcommand{\GTEsol}{
{\color{red}解答： 将 $U$ 的一组基扩充成 $V$ 的一组基。
}
}


%\item % 6
\newcommand{\GTF}{
（定义10）设 $V_1,V_2,V_3$ 是线性空间 $V$ 的子空间。什么时候称和子空间 $V_1+V_2+V_3$ 是直和?% $V_1\oplus V_2\oplus V_3$ ? 
}

%\item % 6a.  
\newcommand{\GTFsol}{
{\color{red}解答：  当和子空间中的每个向量的分解式是唯一的时候。
}
}

%\item % 7
\newcommand{\GTG}{
（定理11）设 $V_1,V_2,V_3$ 是线性空间 $V$ 的子空间。则下述条件相互等价：
\begin{enumerate}
\item  和子空间 $V_1+V_2+V_3$ 是直和。
\item  零向量在和子空间 $V_1+V_2+V_3$ 中的表示方法是唯一的。
\item  $V_1\cap (V_2+V_3)=\{\theta\}$, $V_2\cap (V_1+V_3)=\{\theta\}$, $V_3\cap (V_1+V_2)=\{\theta\}$. 
\item  $\dim (V_1+V_2+V_3) = \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3$. 
\end{enumerate}
}

%\item % 7a.  
\newcommand{\GTGsol}{
{\color{red}解答：  理解直和的定义。
}
}

%\item % 8
\newcommand{\GTH}{
（定义11）什么时候称映射 $\sigma:V\to W$ 是两个线性空间之间的同构？
}

%\item % 8a.  
\newcommand{\GTHsol}{
{\color{red}解答：线性空间的同构是一个双射，且保持加法与数乘。  
}
}


%\item % 9
\newcommand{\GTI}{
设 $\sigma:V\to W$ 是线性空间之间的同构。则 $V$ 中的向量组 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 线性相关当且仅当其像向量组 $\sigma(\alpha_1),\cdots,\sigma(\alpha_s)$ 也线性相关。
}

%\item % 9a.  
\newcommand{\GTIsol}{
{\color{red}解答：  线性相关的定义。线性空间的同构的定义。
}
}

%\item % 10
\newcommand{\GTJ}{
设 $\sigma:V\to W$ 是线性空间之间的同构。设 $V_1\subseteq V$ 是线性子空间。则其像 $\sigma(V_1)$ 是 $W$ 的线性子空间，且 $\dim V_1 = \dim \sigma(V_1)$. 
}

%\item % 10a.  
\newcommand{\GTJsol}{
{\color{red}解答：  线性子空间的定义。同构的定义。基与维数的定义。
}
}

%\item % 11
\newcommand{\GTK}{
证明：同构映射的逆映射仍是同构映射。两个同构映射的乘积仍是同构映射。
}

%\item % 11a.  
\newcommand{\GTKsol}{
{\color{red}解答：  验证同构的定义。
}
}

%\item % 12
\newcommand{\GTL}{
（定理12）实数域上的两个有限维的线性空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。
}

%\item % 12a.  
\newcommand{\GTLsol}{
{\color{red}解答： 维数的定义。使用各自的一组基来构造同构。 
}
}

%\item  %13. 
\newcommand{\GTM}{
%（习题11）
证明：实数集在通常的加法与乘法下形成的实线性空间与全体正实数在 $a\oplus b=ab, k\circ a=a^k$ 这样定义的加法与数乘运算形成的实线性空间是同构的。
}

%\item % 13a. 
\newcommand{\GTMsol}{
{\color{red}解答：构造这两个线性空间之间的一个同构。  
}
}


%\item  %14. 
\newcommand{\GTN}{
设 \( V_1 \) 与 \( V_2 \) 分别是齐次方程组 \( x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0 \) 与 \( x_1 = x_2 = \cdots = x_n \) 的解空间，证明：\( \mathbb{R}^n = V_1 \oplus V_2 \)。
}

%\item % 14a.  
\newcommand{\GTNsol}{
{\color{red}解答：  验证和空间是全空间。验证直和。 
}
}

%\item  %15. 
\newcommand{\GTO}{
证明：如果 \( V = V_1 \oplus V_2 \)，\( V_1 = V_{11} \oplus V_{12} \)，那么 \( V = V_{11} \oplus V_{12} \oplus V_2 \)。
}

%\item % 15a.  
\newcommand{\GTOsol}{
{\color{red}解答：验证直和的定义。  
}
}

%\item  %16. 
\newcommand{\GTP}{
证明：每一个 \( n \) 维线性空间都可以表示成 \( n \) 个一维子空间的直和。
}

%\item % 16a.  
\newcommand{\GTPsol}{
{\color{red}解答：找一组基。  
}
}

%\item  %17. 
\newcommand{\GTQ}{
%证明：和 \(\sum\limits_{i=1}^n V_i\) 是直和的充分必要条件是
%\( V_i \cap \sum\limits_{j=1}^{i-1} V_j = \{\theta\}, \quad i = 2,3,\cdots,s. \)
证明：和 \(V_1+V_2+V_3\) 是直和的充分必要条件是
\( V_2\cap V_1 \) 与 \(V_3\cap (V_1+V_2)\) 都是零子空间。 
}

%\item % 17a. 
\newcommand{\GTQsol}{
{\color{red}解答：使用直和的三个充分必要条件。或直接用直和的定义。  
}
}

%\item  %18. 
\newcommand{\GTR}{
在给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量添上零向量构成一个三维线性空间 \( \mathbb{R}^3 \)。
\begin{enumerate}
    \item 问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间？
    \item 设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间 \( L_1, L_2, L_3 \)。问 \( L_1 + L_2, L_1 + L_2 + L_3 \) 能构成哪些类型的子空间？试全部列举出来。
    \item 就用几何空间的例子来说明：若 \( U, V, X, Y \) 是子空间，满足 \( U+V=X\) 与 \(X \supseteq Y \). 问是否一定有 \( Y = (Y \cap U) + (Y \cap V) \) ?
\end{enumerate}  
}

%\item % 18a. 
\newcommand{\GTRsol}{
{\color{red}解答：过原点的直线与平面是线性子空间。  
}
}

